线性代数  教学大纲

Linear Algebra

一、课程的性质和目的

线性代数是现代数学的基础知识，是高等工科院校工程数学的重要内容。它具有较强的抽象性和逻辑性，广泛应用于经济、工程管理领域。通过该门课程的学习，使经管理类学生系统地获得行列式、矩阵、向量、线性方程组和二次型的基本知识，并为相关课程的学习奠定重要的数学基础。

二、课程教学的基本要求

讲授要求：

主要采用讲授式、启发式的教学方法并适当结合多媒体辅助教学。概念的讲授，应注意通过例子阐述其直观背景和现实意义。基本理论的阐述，应重视从实际问题抽象出数学模型，特别应针对经管专业的特点，注意引进经济数学方面的实例，遵循理论联系实际的原则。使学生准确理解矩阵、行列式、线性相关、线性无关以及线性方程组有关的基本概念，准确理解以上概念间的关系以及线性相关性理论和线性方程组理论的实质，熟练掌握矩阵的基本运算、矩阵的初等变换等基本技巧、线性方程组的求解方法，并把解线性方程组运用于线性空间、线性变换和二次型等有用的数学问题上去。培养学生分析问题和解决问题的能力。

作业方面：每两学时布置一次作业（复习总结除外），学生通过作业巩固所学知识，要求独立完成，要求教师至少批改三分之一。

考试环节：闭卷考试。

三、课程教学内容及学时分配

第一章  行列式（6学时）

教学内容

二阶与三阶行列式, 全排列及其逆序数, n阶行列式的定义, 对换, 行列式的性质, 行列式按行（列）展开, 克莱姆法则。

基本要求：

1.了解排列、逆序、逆序数、奇（偶）排列的概念；

2.理解n阶行列式的定义；

3.掌握行列式的性质；

4.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；

5.掌握行列式的计算；

6.了解克莱姆法则。

重点：行列式性质与行列式的计算。

难点：n阶行列式定义及部分性质的证明。

第二章  矩阵及其运算（8学时）

教学内容

矩阵, 矩阵的运算, 逆矩阵。

基本要求：

1.理解矩阵的概念；

2.掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算；

3.理解逆矩阵的定义，掌握可逆阵的判定方法及求法；

4.了解方阵的行列式概念、性质。

重点：矩阵的运算、逆矩阵。

难点：矩阵的乘法、逆矩阵的概念。

第三章  矩阵的初等变换、向量组（10学时）

教学内容

矩阵的初等变换, 矩阵的秩, n维向量, 向量组的线性相关性, 向量组的秩, 向量空间。

教学要求：

1.掌握矩阵的初等变换；了解初等矩阵的概念；

2.理解矩阵的秩的定义,掌握求矩阵的秩；

3.理解n维向量的概念、性质及运算；

4.理解向量组的线性相关（无关）的概念；

5.掌握判断向量组线性相关或线性无关的判断方法；

6.了解向量组的秩的概念，了解求最大线性无关组的方法；

7.了解向量空间、子空间、基和维数的概念；

重点：初等变换；矩阵的秩；向量组的线性相关性；向量组的秩；向量空间。

难点：初等矩阵；向量组的线性相关的判断。

第四章  线性方程组（8学时）

教学内容

线性方程组解的结构；线性方程组的解。

基本要求：

1.理解齐次线性方程组基础解系的定义，掌握齐次线性方程组通解的求法。

2.掌握非齐次线性方程组解的结构定理、判定定理、求解方法。

重点：齐次线性方程组基础解系；非齐次线性方程组有解的结构、判定定理，以及通解的求法。

难点：基础解系；结构定理。

第五章  相似矩阵及二次型（8学时）

课程内容

向量的内积, 方阵的特征值与特征向量, 相似矩阵, 对称矩阵的相似矩阵, 二次型及其标准形, 用配方法化二次型为标准形, 正定二次型。

教学要求：

1. 理解向量的长度、内积等相关概念；

2. 了解正交向量组，标准正交基的概念，了解施密特正交化方法求正交基；

3.理解方阵的特征多项式，特征值与特征向量等概念，掌握特征值，特征向量的求法；

4.了解相似矩阵的概念及性质，了解矩阵可以对角化的条件；

5.了解实对称矩阵对角化的方法；

6.了解二次型、标准形的概念，掌握二次型用正交变换法化标准形的方法，了解配方法化标准形的方法；

7.理解正定二次型的概念，掌握判断二次型的正定性的基本方法。

重点：相似矩阵的概念；矩阵的对角化，化二次型为标准形。

难点：实对称矩阵的对角化。

四、本课程与其他课程的联系与分工

本课程的先修课是高等数学。是学习后续数学和其它专业课的重要基础理论课。

五、建议教材和教学参考书

教材：胡显佑《线性代数》，第一版，中国商业出版社出版。

参考书:[1] 魏贵民、陈聍,《线性代数》，第一版，电子科技大学出版社出版。

          [2] 张乃一《线性代数》，第一版，天津大学出版社出版。

      [3] 同济大学数学教研室编写,《线性代数》，第三版，高等教育出版社出版